Биномиальная модель эволюции процентной ставки

Обозначим через kZ1 форвардную процентную ставку на один год через k годовых периодов от текущего момента времени, k = 0, 1, 2, 3…..

В биномиальной модели процентной ставки предполагается, что форвардная ставка 0Z1 известна с определенностью и равна δ0, а остальные форвардные процентные ставки kZ1, k = 1, 2, 3…..являются случайными величинами и определяются следующим образом.

Биномиальную модель процентной ставки удобно изображать графически с помощью биномиального дерева (рис. 1).

Пример. Трехэтапная биномиальная модель процентной ставки при параметрах σ = 10 %; δ0 = 6 %; δ1 = 6,5 %; δ2 = 7 % и δ3 = 7,5 %  приведена на рис. 2.

В данной модели форвардная процентная ставка на 1 год через 3 года от текущего момента времени принимает значения: 7,5; 9,161; 11,189 и 13,666 % с вероятностями, равными  соответственно.

Рассмотренная нами биномиальная модель дает возможность находить цены безопционных облигаций с годовыми купонами.

Обозначим через Q(k, i) цену n-летней облигации с годовыми купонами, которая окажется через k лет при условии, что

Очевидно, что цена этой облигации через n лет всегда будет равной ее номиналу, т. е.

 

Рис. 1.  Биноминальная модель процентной ставки

Рис. 2. Трехэтапная биноминальная модель 

Цена облигации в другие будущие моменты времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации. Поток платежей от облигации через k лет можно изобразить в следующем виде:


Следовательно, должно выполняться равенство:


Так как цены облигации Q(n, i) при i = 0, 1, 2…., n нам известны, то рекуррентное равенство (2.60) позволяет последовательно найти цены Q(n -1, i) при i = 0, 1, 2, n – 1; Q(n- 2, i) при i = 0, 1, 2…., n- 2 и т. д. до цены Q(0, 0), которая и является ценой облигации на текущий момент времени.

Для построения биномиальной модели процентной ставки необходимо предварительно
определить следующие параметры: волатильность процентной ставкиа и наименьшие значения форвардных процентных ставок δ0, δ1, δ2…..
Возможный способ оценки волатильности процентной ставки был рассмотрен выше.
Выясним, как при заданной волатильности а можно на основе рыночной информации подо-
брать параметры: δ0, δ1, δ2…..
Предположим, что в данный момент времени известны рыночные доходности: r1 r2, …,
rk…. (rk– рыночная доходность на срок k лет). Заметим, что в этом случае можно найти цену
безопционной облигации номиналом 100 долл. с нулевым купоном, погашаемой через k лет:

Очевидно, что δ0 совпадает с рыночной доходностью r1. Параметр δ1 выбирается так,
чтобы цена двухлетней облигации с нулевым купоном и номиналом 100 долл., определяемая
биномиальной моделью

совпала с ценой Р2 (для отыскания δ1 можно использовать метод проб и ошибок).
Если параметры δ0 и δ1 уже найдены, то δ2 подбирается так, чтобы цена трехлетней обли-
гации с нулевым купоном, определяемая биномиальной моделью

совпала с ценой Р3 и т. д.

 

Отметим важное свойство биномиальной модели процентной ставки.
На основе рыночных доходностей (при заданной волатильности) можно построить бино-
миальную модель процентной ставки, с помощью которой находится цена любой безопцион-
ной облигации с годовыми купонами. С другой стороны, цену безопционной облигации можно
определить, зная рыночные доходности для различных сроков. Цены безопционной облигации,
найденные этими двумя способами, всегда совпадают.

Замечание. Мы рассмотрели биномиальную модель процентной ставки с годовыми эта-
пами. Аналогичным образом можно определить биномиальную модель с этапами, составляю-
щими только части года. В частности, биномиальная модель с полугодовыми этапами имеет
следующий вид (рис. 3).

Рис. 3. Биноминальная модель с полугодовыми этапами 

Похожие статьи

Рассчитать стоимость