Дискретные случайные величины

Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.

Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:

т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.

Рис. 1. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:

Свойства математического ожидания и дисперсии

Пример 1. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:

Например, если ξ = 11,0 %, то

Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:

Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.

Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:

Pij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение Xi, а случайная величина η – значение Yj, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем

Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как

Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если

Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:

Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством

Свойства ковариации

Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:

Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Свойства корреляции