Основы теории экстремальных значений

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: η1, η2…., ηn…. с функцией распределения F(x).

Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {Mn}, где Mn = max {η1, η2…., ηn….}, n = 1, 2, 3…..

Функция распределения случайной величины Mn определяется следующим образом:

Теорема Фишера-Типпета

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин η1, η2…., ηn…..

Следствие из теоремы Фишера – Типпета

Если случайные величины η1, η2, …, ηn независимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины Mn = max{η1, η2, …, ηn} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ξ, μ и σ).

Предположим, что случайная величина Mn = max{η1, η2, …, ηn} имеет распределение Фреше, т. е.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Плотность распределения случайной величины Mn имеет следующий вид (рис. 1).

Рис. 1. График функции плотности распределения Фреше

2. Математическое ожидание и дисперсии случайной величины Mn можно найти по формулам:

Параметры ξ, μ, σ можно подобрать на основе статистических данных.

Для измерений экстремальных событий может быть использовано распределение Парето (Pareto distribution), которое определяется функцией:

Для большого класса случайных величин η при достаточно большом пороговом значении u справедливо равенство:

Данное соотношение позволяет оценивать «хвосты» распределений на основе статистических данных.