Случайные процессы и их основные характеристики

Дано основное вероятное пространство

где Ω – пространство элементарных событий;

β – σ-алгебра случайных событий;

Р – вероятностная мера.

Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в дальнейшем будем считать моментами времени.

Функция ξ(w, t) двух переменных w ∈ Ω и t ∈ V называется случайным процессом (stochastic process), определенным на множестве V, если для любых t ∈ V и x ∈ R (R – множество всех действительных чисел) множество (1)

т. е. является случайным событием.

Из условия (1) следует, что если на множестве V определен случайный процесс ξ(w, t), то каждому моменту времени t ∈ V поставлена в соответствие случайная величина ξt(w) = ξ(w, t). Случайная величина ξt(w) называется сечением случайного процесса в момент времени t.

Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный процесс, достаточно каждому моменту времени t ∈ V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ξt(w) – сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить как ξt(w) или просто ξt.

Если на множестве V задан случайный процесс ξ(w, t), то при каждом фиксированном элементарном событии w ∈ Ω мы имеем функцию одного переменного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траекторией, или реализацией, случайного процесса ξ(w, t).

Пример 1. Рассмотрим случайный процесс

Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 является случайная величина 2η(w) + 1. Траектории случайного процесса ξ(w, t) изображены на рис. 1.

Пример 2. Случайный процесс на [0, +?) определен следующим образом:

Сечением случайного процесса ξ(w, t) в момент времени t является случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной P{η(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной P{η(w) ≤ t}.

Траектория случайного процесса ξ(w, t) имеет вид, изображенный на рис.2. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математическое ожидание и дисперсия.

Пример 3. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса из примера 1.

Рис. 1. Траектория случайного процесса из примера 1

 

Рис. 2. Траектория случайного процесса из примера 2

 

Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, вообще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.