Выбор параметра сглаживания λ в методе RiskMetrics

Стандартная формула RiskMetrics для расчета VaR параметрическим методом с горизонтом прогнозирования в один день (t = 1) в случае единичного актива имеет вид (1):


На практике широко используется следующая аппроксимация формулы (1):Экспоненциально взвешенная волатильность (exponentially weighted moving average – EWMA) в методике RiskMetrics рассчитывается по формуле (2):

Рис. 1. Сравнение равномерно и экспоненциально взвешенной волатильности

Из рис. 1 видно, в чем состоят преимущества экспоненциального сглаживания волатильности: оно быстрее реагирует на шоковые изменения доходности (что особенно актуально для России) и в целом представляет собой хороший прогноз стандартного отклонения.

Между параметром сглаживания А и глубиной ретроспективы Т устанавливается зависимость. Для этого вводится переменная, называемая уровнем толерантности (tolerance level):

Таким образом, уровень толерантности представляет собой сумму весов данных, находящихся за пределами горизонта Т (табл. 1). Решая уравнение относительно Т, получаем:

Таблица 1

Рис. 2. Зависимость рассчитанной по формуле (2) волатильности наблюдаемых доходностей от глубины ретроспективы

Так, например, для γL=0,01 и λ = 0,94 Т = 74.

Затем необходимо определить оптимальное значение параметра λ.

Считая математическое ожидание случайной величины е равным нулю, в качестве критерия выбора оптимального параметра λ примем минимум среднеквадратичной ошибки (root mean squared error– RMSE), определяемой следующим образом:


Путем варьирования параметра λ строится ряд значений RMSE(λ)i, затем определяется min RMSE((λ)i, и соответствующий этому значению параметр сглаживания λ считается оптимальным.

В данном методе важно определить оптимальную глубину ретроспективы. Как известно, для того чтобы оценка стандартного отклонения верно характеризовала генеральную совокупность, выборка должна обладать объемом не ниже некоторого уровня. Из рис. 2 следует, что этот объем должен быть не менее 40-50 наблюдений, иначе погрешность расчета волатильности будет слишком велика (т. е. волатильность может случайным образом оказаться как ниже, так и выше среднего уровня).

Однако оценка волатильности доходности финансовых активов имеет ряд особенностей, связанных с тем, что параметры распределения меняются со временем, в том числе и средняя волатильность (гетероскедастичность). Таким образом, накладывается ограничение на максимальный размер выборки (глубину ретроспективы).

Рассмотрим теперь важную проблему «недостающих данных», связанную, в частности, с определением оптимального параметра λ в модели EWMA. Под недостающими данными здесь понимается, например, отсутствие данных о ценах активов в так называемые «неторговые» дни (обычно выходные и праздничные дни).

Проблема недостающих данных заключается в том, что информация, накопившаяся за то время, пока торги не велись, с открытием торгов может привести к скачкообразным движениям цен активов, что, в свою очередь, может привести к существенному изменению формы (параметров) вероятностного распределения доходности активов, изменению (нарушению) корреляционных связей и т. д.

Обычно (когда неторговые периоды совпадают по продолжительности и календарно на взаимосвязанных рынках) этого не происходит, и эти «недостающие» данные никак не учитываются. Однако, учитывая современные условия, а именно все более тесную интеграцию финансовых рынков, данная проблема, скорее всего, неизбежна. Естественным образом встает вопрос о том, учитывать или не учитывать эти данные, что зависит от того, насколько значимыми стали изменения в поведении участников рынка.

Рассмотрим основные факторы, влияющие на масштаб накопившейся информации. Это в первую очередь несовпадение неторговых периодов по времени и продолжительности (как это было на Нью-Йоркской фондовой бирже, торги на которой не велись с 11 по 17 сентября 2001 г., в то время как на большинстве мировых финансовых рынков торги проводились). Любые крупные изменения (политические, экономические, социальные и т. д.), произошедшие в это время, повлияют на характер торгов в момент открытия рынка.

Рис. 3. Зависимость от величины ошибки прогноза RMSEusd от параметра λ

Рис. 4. Динамика RMSEusd за период 03.01.2001 по 19.03.2002

Рис. 5. Зависимость от величины ошибки прогноза RMSEusd от параметра λ после заполнения недостающих данных

Рис. 6. Динамика RMSEusd за период 03.01.2001 по 19.03.2002

Рис. 7. Зависимость параметра сглаживания от глубины ретроспективы

Для решения этой проблемы используются такие подходы, как метод максимального правдоподобия, множественный «броуновский мост» (multivariate Brownian bridge), линейная интерполяция и др. У каждого метода есть свои преимущества и недостатки, и выбор метода в каждом случае будет определяться конкретными условиями.

Проанализируем результаты применения метода линейной интерполяции на примере данных о курсе доллара США.

Рассмотрим два графика (рис. 3-4), на одном из которых изображена зависимость средней величины ошибки прогноза RMSEUSD от значения Л (значение λопт ≈ 0,99), а на втором – динамика RMSEUSD за последние два года. Заполнения недостающих данных не производилось.

На рис. 5-6 представлены те же зависимости, но уже после заполнения недостающих данных (традиционно нерабочие дни, первые числа января 2001 и 2002 гг.). После обработки данных оптимальное значение Л стало равным 0,92. Можно также заметить, что на порядок снизилось максимальное значение ошибки прогноза, наблюдавшееся в январе 2002 г., что привело к увеличению доли в ошибке прогноза остальных дней ретроспективы, для которых λ = 0,92 является оптимальным параметром.

Заметим, что при заполнении недостающих данных для диверсифицированного портфеля, существенное внимание следует уделить корреляционным связям в динамике активов.

Проведенные измерения оптимальных значений параметров сглаживания для некоторых активов российского финансового рынка (доллар США, евро, индекс РТС) позволяют построить график (рис. 7).

Под «возмущением» в данном случае понимается вызванное влиянием какого-либо фактора скачкообразное изменение текущей доходности актива, сопровождающееся, как правило, временным увеличением волатильности.

Рассмотрим три ключевые точки графика:

  • возмущение – значение λ снижается до уровня 0,85-0,88; это обусловлено тем, что изменившаяся ситуация на рынке наиболее адекватно характеризуется недавними изменениями;
  • стабилизация – λ равна 0,98-0,99: на первый взгляд, парадоксальный результат, однако ему есть логическое объяснение – как можно в меньшей степени использовать данные недавнего возмущения;
  • стабильность – λ равна 0,92-0,95: диапазон наиболее часто наблюдаемых значений при длительном отсутствии возмущений.

Значение параметра сглаживания λ в системе RiskMetrics равно 0,94 при уровне толерантности 1 %. Это значение параметра сглаживания считается пригодным для финансовых рынков развитых стран. Оптимальное значение данного параметра для рынка в целом было получено при помощи взвешивания индивидуальных параметров, при этом в качестве весов выступала точность прогнозирования волатильности (ошибка прогноза): чем выше точность, тем больший вес имеет параметр сглаживания данного актива.

Разброс значений точности прогнозирования волатильности активов российского финансового рынка ставит под сомнение целесообразность применения данного подхода в российских условиях. Поскольку наименее волатильные инструменты обладают наименьшей средней ошибкой прогноза, то они имеют наибольший вес в значении параметра λ для рынка в целом.

Для интегрального параметра λ было бы рациональнее использовать индивидуальные значения этого параметра с приданием им весов, пропорциональных объемам торгов по соответствующим инструментам или их долям в портфеле.

Узнай цену консультации

"Да забей ты на эти дипломы и экзамены!” (дворник Кузьмич)