Уравнение стоимости и его взаимосвязь с периодом окупаемости

Пусть в дискретный момент времени страхователь заключает договор пенсионного или накопительного страхования жизни, осуществляя в пользу страховщика выплату страховой премии в размере IP, получая в будущем доход в единицу времени в объёме xIP, а по истечению срока действия договора страхования xIP+IP.

Определим текущие стоимости отрицательного и положительного потока наличности относительно момента заключения договора страхования:

= ∑

= ∑

Сопоставив два уравнения получим:

∑ = ∑

Таким образом, сопоставив два уравнения, было получено уравнение стоимости в условиях действия неопределённой «силы процента». Достижение равновесия левой и правой части формулы достигается фактом того, что «сила процента» является константой, что в свою очередь на основе формулы, позволяет перейти к процентной ставке в единицу времени, установив, что = ln(1+i).

В таких условиях уравнение примет вид:

∑ = ∑ (77)

Формула (77) является уравнением доходности относительно внутренней доходности i в установленную единицу времени.

Представим, что моментальная стоимость описывается условием:

= –

Тогда формула и примут вид:

∑
{∑

В формуле представляет собой значение чистого движения наличности в конкретный момент времени. Таким образом, можно сделать вывод, что формулы могут быть использованы исключительно для определения стоимости дискретных потоков наличности, имеющих фиксированное значение в дискретный момент времени t. Как рассматривалось нами ранее, противоположным потоком дискретному потоку наличности является непрерывный поток наличности, что требует корректировки формульного аппарата, используемого для определения его стоимости. В таких условиях определим, что (t) есть норма доходов, формируемая непрерывным потоком наличности, тогда как (t) представляет собой норму расходов, формируемых непрерывным потоком наличности, тогда чистая норма движения наличности в условиях непрерывного потока наличности определяется как:

(t) = (t) – (t)

Тогда уравнение стоимости для непрерывного потока наличности примет вид:

∫ dt = ∫ – dt = 0

В условиях, когда договор страхования характеризуется наличием смешанных потоков наличности (дискретных и непрерывных) для формирования уравнения стоимости необходимо учесть структуру как дискретного, так и непрерывного потока наличности. Таким образом, уравнение стоимости для смешанного потока наличности можно будет представить как:

∑ +∫ dt = 0

Основываясь на формуле можно определить:

• заданное значение процентной ставки i при условии формирования как отрицательных, так и (или) положительных потоков наличности;
• расчётное значение отрицательного потока наличности при условии существования положительного потока наличности (показателя его количественной оценки), а также установленной нормы прибыли (показателя доходности);
• расчётное значение положительного потока наличности при условии существования отрицательного потока наличности (показателя его количественной оценки), а также установленной нормы прибыли (показателя доходности).

Составляя уравнение стоимости потока наличности необходимо учитывать факт того, что оно имеет ряд ограничений, которые обусловливают его существование, а, именно:

• значение i -1;
• в условиях отсутствия доходности (i) и «силы процента» ( уравнение стоимости не имеет корней, и наоборот;
• в случае если уравнение стоимости имеет более одного корня, из которых положительные корни не определены или существуют числом больше одного, можно утверждать об отсутствии нормы доходности (i) для данного договора страхования;
• уравнение стоимости имеет единственный корень, то «сила процента» определяется как, являясь внутренней нормой прибыли по договору страхования, определяя доходность как: = – 1;
• в случае если 0, то существует единственный положительный корень уравнения стоимости (при возможном существовании отрицательных корней), который обеспечивает формирования нормы доходности, определяемого как: = – 1 строго большего 0.

Анализируя представленные ограничения можно сделать вывод, что доходность по договору страхования достижима только при условии существования единственного решения относительно «силы процента» или единственное положительное решение.

Таким образом, можно сделать вывод, что доходность договора страхования может быть достигнута при соблюдении двух ключевых условий:

• существовании единственного решения уравнения стоимости, относительно всех отрицательных и положительных потоков наличности, возникающих при его реализации (выполнении);
• договор страхования характеризуется временными ограничениями, характеризуемыми неравенством … в условиях формирования чистого движения наличности (1 k n), а накопленные денежные средства, уплаченные в виде страховой премии (страховых взносов) к моменту времени представлены в виде последовательности = ∑ (где 1 g n), которая имеет следующие свойства: ; 0; после исключения нулевых элементов последовательности, сама последовательность характеризуется единичной переменной знака (уравнение стоимости имеет единственный положительный корень).

Представленные ограничения достоверно описывают суть договора страхования, который позволяет за счёт совершения ряда платежей в пользу страховщика по завершению сроков действия получить сумму, значительно превышающую осуществлённые расходы. (Страхование и актуарная деятельность: учебное пособие, М.Ю. Дендиберя, ХГУЭП)